正多面体の展開図（立方体・正八面体の11通りと正四面体）
立方体・正八面体の11通り、正四面体の2通りの展開図を全部そろえました。
面・辺・頂点を押すと組み立てたときの相手がわかり、3Dで折りたたんで確かめられます。
展開図を選んで、組み立てたときの対応を確かめる
面・辺・頂点を押すと、組み立てたときに向かい合う面・重なる辺・集まる頂点を示します。
- ● 選んだ面
- ◆ 向かい合う面
- 同じ記号の辺どうしが重なる
- 同じ記号の点が1つの頂点に集まる
3Dで折りたたむ
立方体（正六面体）：面 6（正方形）・辺 12・頂点 8。1つの頂点に3つの面が集まります。展開図は全部で 11通りです（回したり裏返したりして重なるものは同じとみなします）。一直線に並ぶ面の最長で分けると、4つが 6通り・3つが 4通り・2つが 1通りです。
面・辺・頂点を指やマウスで押すと、組み立てたときの相手を色と記号で示します。キーボードでは Tab で面（辺・頂点）を移り、Enter で選びます（Esc で外す）。点線は折り目です。立体はドラッグで回せます。立体を選んでから矢印キーでも回せます（Home で元の向き）。立体の面の色は展開図と同じで、灰色は面の裏側です。
実寸で印刷する（A4）
この展開図は、1辺 20〜60 mm で A4（縦）に入ります。いまの大きさ：1辺 60 mm・全体 190 × 250 mm（用紙に合わせて90°回して置きます）。
上で選んでいる展開図を印刷します。1辺の長さが空欄なら、A4 に入る最大の大きさです。印刷の設定で倍率を「100%（実際のサイズ）」にしてください。「用紙に合わせる」にすると長さが変わります。
練習1：向かい合う面はどれ？
立方体（正六面体）の展開図（7番）を組み立てたとき、面2と向かい合う面はどれですか。
黄色の面と向かい合う面を、ボタンか展開図の面で答えます。答えると、向かい合う面が青で示されます。
練習2：組み立てられる？
正方形 6枚を並べたこのかたちは、組み立てると立方体（正六面体）になりますか。
答えると、組み立てられないときは閉じない点（赤い丸）か、重なる面（×）を示します。
概要
正多面体の展開図を選んで、組み立てたときにどの面が向かい合い、どの辺どうしが重なり、どの点が1つの頂点に集まるかを、その場で確かめられるツールです。立方体（正六面体）と正八面体は11通り、正四面体は2通りある展開図をすべて収め、正十二面体と正二十面体は展開図を1つずつ表示します。
面・辺・頂点を指やマウスで押すと、相手の面や辺・点を色と記号で示します。3Dの欄では、選んだ展開図をスライダーで少しずつ折りたたみ、ドラッグで回して、平らな図と立体の対応を見られます。小学4年の算数（立方体・直方体の展開図）、中学1年の数学（空間図形・正多面体）、中学受験や就職の適性検査の空間把握の問題の練習と答え合わせに使えます。
「向かい合う面はどれ？」「組み立てられる？」の練習問題と、1辺の長さを mm で決めて A4 に印刷する型紙（のりしろ・面の番号つき）もあります。展開図の形と答えは、このページのプログラムが計算で出しています。入れたものは保存も送信もしません。登録は要りません。
使い方
立体と展開図を選ぶ
正四面体・立方体・正八面体・正十二面体・正二十面体のボタンで立体を選び、一覧の小さい図から展開図を選びます。番号は、一直線に並ぶ面が長い順です。
面・辺・頂点を押す
「面」「辺」「頂点」を選んでから展開図を押すと、組み立てたときに向かい合う面・重なる辺・集まる頂点を色と記号で示します。「全部表示」にすると、すべての組を一度に見られます。
折りたたむ・練習する・印刷する
3Dの欄のスライダーで折りたたみ、ドラッグで回して確かめます。練習問題で向かい合う面や組み立てられるかを答えたり、1辺の長さを決めて実寸で印刷したりもできます。
正多面体の5種類
すべての面が同じ大きさの正多角形で、どの頂点にも同じ数の面が集まる、へこみのない立体を正多面体といいます。正多面体は次の5種類だけです。
| 立体 | 面の形 | 面の数 | 辺の数 | 頂点の数 | 1つの頂点に集まる面 | 頂点－辺＋面 | 展開図の数 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 正四面体 | 正三角形 | 4 | 6 | 4 | 3 | 2 | 2通り |
| 立方体（正六面体） | 正方形 | 6 | 12 | 8 | 3 | 2 | 11通り |
| 正八面体 | 正三角形 | 8 | 12 | 6 | 4 | 2 | 11通り |
| 正十二面体 | 正五角形 | 12 | 30 | 20 | 3 | 2 | 43,380通り |
| 正二十面体 | 正三角形 | 20 | 30 | 12 | 5 | 2 | 43,380通り |
5種類しかないのは、1つの頂点のまわりの角の合計が 360° より小さくないと、へこみのない立体の頂点にならないからです。正三角形（1つの角が 60°）は3つ・4つ・5つ集められ（180°・240°・300°）、6つ集めると 360° で平らになります。正方形（90°）は3つ（270°）、正五角形（108°）は3つ（324°）までです。正六角形（120°）は3つで 360° になるので、正多面体の面になれません。
どの正多面体でも「頂点の数 － 辺の数 ＋ 面の数 ＝ 2」になります（オイラーの多面体定理）。たとえば立方体は 8 － 12 ＋ 6 ＝ 2 です。
展開図の数は、回したり裏返したりして重なるものを同じとみなして数えたものです。このページでは、面のつながり方をすべて調べる方法と、正方形・正三角形を並べたかたちをすべて調べる方法の2通りで数え、どちらも正四面体 2・立方体 11・正八面体 11 になることを確かめました。正十二面体と正二十面体は、どちらも 43,380通りです（大学の講義資料の値と、このページの計算が一致）。
展開図の見つけ方
向かい合う面（立方体）：展開図で一直線に並んだ3つの面のうち、両はしの2つが向かい合います（間に1つはさんだ面）。向かい合う面どうしが、辺でとなり合うことはありません。
向かい合う面（正八面体）：横一列につながった三角形の帯では、3つ先の三角形と向かい合います。正八面体でも、向かい合う面どうしは辺でとなり合いません。正四面体には向かい合う面がなく、どの2つの面も1本の辺でとなり合います。
重なる辺：展開図の1つの点のまわりに、立体の1つの頂点に集まる面がそろっているところ（立方体なら正方形3つ、正八面体なら三角形4つ）では、すき間をはさむ2本の辺が重なります。重なる2本の辺の外側のはしどうしも同じ頂点に集まるので、そこを手がかりに次の組を探せます。
組み立てられない形：1つの点のまわりに、立体の1つの頂点に集まる数より多く面があると、そこは閉じません（立方体なら正方形4つ、正八面体なら三角形5つ以上）。立方体で正方形が5つ以上、正八面体で三角形が7つ以上一直線に並ぶと、組み立てたときに面が重なります。このほかにも、組み立てると2つの面が同じ場所に重なる形があります。
このページの「組み立てられる？」は、正方形6枚の形 35通り（組み立てられるのは11通り・組み立てられないのは24通り）と、正三角形8枚の形 66通り（11通り・55通り）から問題を出します。
用語集
- 正多面体
- すべての面が同じ大きさの正多角形で、どの頂点にも同じ数の面が集まる、へこみのない立体。正四面体・立方体（正六面体）・正八面体・正十二面体・正二十面体の5種類です。
- 展開図
- 立体を辺にそって切り開き、1枚の平面に広げた図。
- 見取図
- 立体の形がひと目でわかるようにかいた図。
- 面・辺・頂点
- 立体をかこむ平らな部分が面、面と面のさかいの線が辺、辺が集まる点が頂点です。
- 向かい合う面
- 組み立てたときに平行になる2つの面。立方体は3組、正八面体は4組、正十二面体は6組、正二十面体は10組あり、正四面体にはありません。
- 重なる辺
- 展開図を組み立てたときに、くっついて1本の辺になる2本の辺。
- 折り目
- 展開図で、となり合う面のさかいの辺。組み立てるときに折る線です（図の点線）。
- 二面角
- となり合う2つの面がつくる角。正四面体は約 70.5°、立方体は 90°、正八面体は約 109.5°、正十二面体は約 116.6°、正二十面体は約 138.2° です。
- のりしろ
- 組み立てるときにのりをつける、辺の外側の台形の部分。重なる辺の組のどちらか一方にだけつけます。
- オイラーの多面体定理
- へこみのない多面体で「頂点の数 － 辺の数 ＋ 面の数 ＝ 2」になるという関係。
よくある質問
- Q. 立方体の展開図は何通りありますか？
- 11通りです。回したり裏返したりして重なるものは同じとみなして数えます。一直線に並ぶ面の最長で分けると、4つが6通り・3つが4通り・2つが1通りです。このページでは11通りを全部選んで確かめられます。
- Q. 正八面体の展開図は何通りありますか？
- 11通りです（回したり裏返したりして重なるものは同じとみなします）。一直線に並ぶ三角形の最長で分けると、6つが6通り・5つが3通り・4つが2通りです。
- Q. 正四面体の展開図は何通りですか？
- 2通りです。正三角形4枚が一列に並ぶ形と、大きな正三角形の形です。
- Q. 正十二面体や正二十面体の展開図は何通りですか？
- どちらも 43,380通りあります。数が多いので、このページではそれぞれ1つを表示しています。面・辺・頂点の対応、3Dの折りたたみ、印刷はほかの立体と同じように使えます。
- Q. 向かい合う面はどうやって見つけますか？
- 立方体では、一直線に並んだ3つの面の両はしが向かい合います。正八面体では、横一列の三角形の帯で3つ先の三角形が向かい合います。どちらも、向かい合う面どうしが辺でとなり合うことはありません。このページでは、面を押すと向かい合う面が青で示されます。
- Q. 重なる辺はどうやって見つけますか？
- 展開図の1つの点のまわりに、立体の1つの頂点に集まる面がそろっているところでは、すき間をはさむ2本の辺が重なります。重なる2本の辺の外側のはしも同じ頂点に集まるので、そこを手がかりに次の組を探せます。「辺」を選んで辺を押すと、重なる相手の辺が同じ記号で示されます。
- Q. 組み立てられない形はどう見分けますか？
- 1つの点のまわりに、立体の1つの頂点に集まる数より多く面があると閉じません。立方体で正方形が5つ以上、正八面体で三角形が7つ以上一直線に並ぶと面が重なります。このほかにも面が重なる形があるので、「組み立てられる？」の練習で確かめてみましょう。
- Q. 印刷した展開図の長さが指定と違います。
- 印刷の設定の倍率を「100%（実際のサイズ）」にしてください。「用紙に合わせる」「ふちなし」などで拡大・縮小すると、1辺の長さが変わります。印刷したら、定規で1辺を測って確かめてください。
- Q. のりしろはどこにつきますか？
- 重なる辺の組ごとに、どちらか一方の辺にだけ台形ののりしろをつけます。ほかの面やのりしろと重ならない側を選んでいます。のりしろを付けずに印刷することもできます。
- Q. 何年生で習いますか？
- 立方体と直方体の見取図・展開図は小学4年の算数で、正多面体を含む空間図形は中学1年の数学で学びます。展開図の向かい合う面や重なる辺は、中学受験の算数や、就職の適性検査の空間把握の問題でも問われます。
- Q. 入れたものは保存されますか？
- いいえ。1辺の長さなどの設定は、このページの中だけで使い、保存も送信もしません。ページを開き直すと、初めの状態に戻ります。
活用シーン
宿題・テストの答え合わせ
展開図の問題で、向かい合う面や重なる辺が合っているかを、面や辺を押して確かめられます。
組み立てて空間の感覚をつかむ
平らな展開図を少しずつ折りたたみ、回して見ると、どの面がどこに来るかがわかります。
工作・授業の型紙
1辺の長さを決めて、のりしろつきの展開図を A4 に実寸で印刷できます。
中学受験・適性検査の練習
「向かい合う面はどれ？」「組み立てられる？」の問題を、何回でも解けます。
出典と確認日
学習の範囲と展開図の数は、次の資料で確かめました（確認日 2026-11-05）。資料の文や図は転載していません。展開図・図・問題は、このページのプログラムで計算して作ったものです。
- 文部科学省『小学校学習指導要領（平成29年告示）解説 算数編』 https://www.mext.go.jp/content/20211102-mxt_kyoiku02-100002607_04.pdf
- 文部科学省『中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編』 https://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2019/03/18/1387018_004.pdf
- 啓林館「課題学習の指導（数学）」課題1 立方体の展開図は全部で何種類あるか https://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/j-kadaimath/0405/index.htm
- 教育出版「中学校数学 図版ワークシート集」1年 立体の展開図 https://www.kyoiku-shuppan.co.jp/textbook/chuu/sugaku/document/ducu2/post.html
- 大日本図書 小学校算数 4年 p.256「展開図の練習問題①」（2024） https://cc.dainippon-tosho.co.jp/es/2024/frame/4n_p256_15t_1.html
- 上原隆平（北陸先端科学技術大学院大学）講義資料「展開図の基礎的な知識」（2016） http://www.jaist.ac.jp/~uehara/course/2016/kyushu/pdf/04solids.pdf
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